Question

10．已知各项均为正数的数列{a_n}，其前n项和为S_n．点（a_n，S_n）在函数f（x）=2x-1图象上．数列{b_n}满足：b_n=log₂a_n+1．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$≥2恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系与对数的运算性质即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵点（a_n，S_n）在函数f（x）=2x-1图象上，∴S_n=2a_n-1．
当n=1时，a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）．化为a_n=2a_n-1．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n=log₂a_n+1=n．
（2）证明：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
相减可得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$≥4-2=2．
∴T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$≥2恒成立．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．