Question

7．已知关于x的方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，则实数a的取值范围为[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，则函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$与直线y=ax-2只有一个交点，分析可得函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$为双曲线x²-y²=1的x轴上方部分，由直线与双曲线的位置关系分析可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，
则函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$与直线y=ax-2只有一个交点，
而函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$，其解析式变形可得y²=x²-1（y≥0），
即双曲线x²-y²=1的x轴上方部分；
双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，
直线y=ax-2过点（0，-2），
分析可得：当a=±$\sqrt{5}$时，直线与双曲线相切，
若直线y=ax-2与双曲线x²-y²=1（y≥0）只有一个交点，
则有-$\sqrt{5}$≤a＜-1或1＜a≤$\sqrt{5}$，
即a的取值范围是[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]；
故答案为：[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查方程根的判断，涉及直线与双曲线的位置关系，关键是将方程有解的问题转化为双曲线与直线的位置关系问题．