Question

1．设m为实数，函数f（x）=x³-x²-x+m．
（1）求f（x）的极值点；
（2）如果曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可；
（2）问题转化为$f（-\frac{1}{3}）＜0$或f（1）＞0，求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，
令f'（x）=3x²-2x-1=0，解得x=1或$x=-\frac{1}{3}$，
易知y=f（x）的极大值点为-$\frac{1}{3}$，极小值点为1．
（2）由（1）知：欲使曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，
则$f（-\frac{1}{3}）＜0$或f（1）＞0，
可得$m＜-\frac{5}{27}$或m＞1．

点评 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．