Question

16．已知a，b，c为非零实数．
（ I）若存在实数n，p，q满足：a²+b²+c²=n²+p²+q²=2，求证：$\frac{n^4}{a^2}+\frac{p^4}{b^2}+\frac{q^4}{c^2}$≥2；
（ II）设函数f（x）=ax²+bx+c，若x∈{-1，0，1}时，|f（x）|≤1，求证：x∈[-1，1]时，|ax+b|≤2．

Answer 1

分析 （I）使用柯西不等式证明；
（II）令g（x）=|ax+b|，使用绝对值不等式证明g（-1）≤2，g（1）≤2，从而得出g（x）≤2．

解答 证明：（I）由柯西不等式可知：（$\frac{n^4}{a^2}+\frac{p^4}{b^2}+\frac{q^4}{c^2}$）（a²+b²+c²）≥（$\frac{{n}^{2}}{a}•a$+$\frac{{p}^{2}}{b}•b$+$\frac{{q}^{2}}{c}•c$）²=（n²+p²+q²）²=4，
即2（$\frac{n^4}{a^2}+\frac{p^4}{b^2}+\frac{q^4}{c^2}$）≥4，∴$\frac{n^4}{a^2}+\frac{p^4}{b^2}+\frac{q^4}{c^2}$≥2．
（II）∵x∈{-1，0，1}时，|f（x）|≤1，
∴|a-b+c|≤1，|c|≤1，|a+b+c|≤1，
∴|a+b|=|a+b+c-c|≤|a+b+c|+|c|≤2，
|a-b|=|a-b+c-c|≤|a-b+c|+|c|≤2，
令g（x）=|ax+b|，则g（-1）=|a-b|≤2，g（1）=|a+b|≤2，
∵g（x）在[-1，1]上的最大值为g（-1）或g（1），
∴g（x）≤2，即|ax+b|≤2．

点评 本题考查了柯西不等式，绝对值不等式，属于中档题．