Question

8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．
（1）求cosA；
（2）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解A即可．
（2）利用三角函数的基本关系式以及正弦定理，转化求解三角形的面积即可．

解答 解：（1）C=2A，B=180°-3A因为a，b，c成等差数列
所以 a+c=2b得sinA+sinC=2sinB-------------------（2分）
sinA+2sinA•cosA=2sin3A=2sin（A+2A）=2sinA•cos2A+2cosA•sin2A
=2sinA（4cos²A-1）------------------------------------------（4分）
整理得：8cos²A-2cosA-3=0
解之得：$cosA=\frac{3}{4}$或$cosA=-\frac{1}{2}$（舍去）--------------------------------（6分）
（2）∵$cosA=\frac{3}{4}$，所以$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，$sinC=\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$a=2，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
c=3-------------------------------------（9分）
a+c=2b，$b=\frac{5}{2}$，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{{15\sqrt{7}}}{16}$----------------------------------------（12分）

点评 本题考查数列与三角函数相结合，考查正弦定理的应用，是中档题．