Question

3．已知函数$f（x）=（2-m）lnx+\frac{1}{x}+2mx$．
（1）当f'（1）=0时，求实数的m值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求导，由f'（1）=0，求得的值，利用点斜式方程，即可求得切线方程；
（2）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论m的取值范围，分别求得f（x）单调区间．

解答 解：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），
求导$f'（x）=\frac{{2m{x^2}+（2-m）x-1}}{x^2}=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}$，
由f'（1）=0，解得m=-1
从而f（1）=-1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1．　　（4分）
（2）由$f'（x）=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}（x＞0）$，
当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{2}$），增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）
当m＜0时，由$f'（x）=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}=0$，得$x=-\frac{1}{m}$，或$x=\frac{1}{2}$，
当m＜-2时，y=f（x）的减区间为（0，-$\frac{1}{m}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）增区间为（-$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{2}$）；
当m=-2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．
当-2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{m}$，+∞），增区间为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m}$）（12分）
综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{2}$），增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）；
当m＜-2时，y=f（x）的减区间为（0，-$\frac{1}{m}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）增区间为（-$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{2}$）；
当m=-2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；
当-2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{m}$，+∞），增区间为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m}$）．

点评 本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中档题．