Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0），若对任意的m、n、$p∈[\frac{1}{3}，1]$，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是（$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{9}$）∪[1，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，讨论当$\sqrt{a}$≥1即a≥1时；当$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{a}$＜1且f（$\frac{1}{3}$）≤f（1）即$\frac{1}{9}$≤a≤$\frac{1}{3}$时；当$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{a}$＜1且f（$\frac{1}{3}$）＞f（1）即$\frac{1}{3}$＜a＜1时；当$\sqrt{a}$＜$\frac{1}{3}$，即0＜a＜$\frac{1}{9}$时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
当x＞$\sqrt{a}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜$\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
当$\sqrt{a}$≥1即a≥1时，[$\frac{1}{3}$，1]为减区间，即有f（x）的最大值为$\frac{1}{3}$+3a；
最小值为1+a．
由题意可得只要满足2（1+a）＞$\frac{1}{3}$+3a，解得1≤a＜$\frac{5}{3}$；
当$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{a}$＜1且f（$\frac{1}{3}$）≤f（1）即$\frac{1}{9}$≤a≤$\frac{1}{3}$时，[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]为减区间，（$\sqrt{a}$，1）为增区间，
即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2$\sqrt{a}$．
由题意可得只要满足1+a＞4$\sqrt{a}$，解得0＜a＜7-4$\sqrt{3}$，不成立；
当$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{a}$＜1且f（$\frac{1}{3}$）＞f（1）即$\frac{1}{3}$＜a＜1时，[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]为减区间，（$\sqrt{a}$，1）为增区间，
即有f（x）的最大值为$\frac{1}{3}$+3a；最小值为2$\sqrt{a}$．
由题意可得只要满足$\frac{1}{3}$+3a＞4$\sqrt{a}$，解得0＜a＜$\frac{7-4\sqrt{3}}{9}$，不成立；
当$\sqrt{a}$＜$\frac{1}{3}$，即0＜a＜$\frac{1}{9}$时，[$\frac{1}{3}$，1]为增区间，即有f（x）的最小值为$\frac{1}{3}$+3a；
最大值为1+a．
由题意可得只要满足2（$\frac{1}{3}$+3a）＞1+a，解得$\frac{1}{15}$＜a＜$\frac{1}{9}$．
综上可得，a的取值范围是（$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{9}$）∪[1，$\frac{5}{3}$）．
故答案为：（$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{9}$）∪[1，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，考查单调性的运用，以及化简整理和分类讨论思想方法，属于难题．