Question

4．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R
 （1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（2）求f（x）在闭区间$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）的最小正周期及单调减区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π； 
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，可得f（x）的减区间为  $[{\frac{5}{12}π+kπ，\frac{11}{12}π+kπ}]$，$\begin{array}{l}k∈Z\end{array}$．
（2）在闭区间$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{4}$，
当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题．