Question

14．如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为500$\sqrt{3}$cm³．

Answer 1

分析 先确定三棱锥A-BCD的外接球直径为AC，再根据图中数据求出外接球的半径R，从而求得体积．

解答 解：四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，
∴AB⊥BD，CD⊥BD；
∵沿BD折成直二面角A-BD-C，如图所示；
∴AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，
∴AB⊥BC，CD⊥DA；
∴三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，
且|AC|²=|AB|²+|BD|²+|CD|²=10²+10²+10²=300
∴外接球的半径为R=5$\sqrt{3}$，它的体积为$\frac{4π}{3}$•${（5\sqrt{3}）}^{3}$=500$\sqrt{3}$π．
故答案为：500$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查了几何体外接球的体积计算问题，解题的关键是确定外接球的直径．