Question

6．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，参数α∈（0，π），M为C₁上的动点，满足条件$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}$的点P的轨迹为曲线C₂．
（Ⅰ）求C₂的普通方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线$θ=\frac{π}{3}$与C₁，C₂分别交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），则M（2x，2y），代入C₁的方程可得$\left\{\begin{array}{l}2x=2+2cosα\\ 2y=2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，α∈（0，π）．消去参数可得普通方程所以，C₂的普通方程为（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
（II）C₁的极坐标方程为：$ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，C₂的极坐标方程为：$ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，分别联立解出即可得出．

解答 解：（I）设P（x，y），则M（2x，2y），
因为M为C₁上的动点，所以$\left\{\begin{array}{l}2x=2+2cosα\\ 2y=2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，α∈（0，π）．
消去参数得（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
所以，C₂的普通方程为（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
（II）C₁的极坐标方程为：$ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，C₂的极坐标方程为：$ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\ ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）\end{array}\right.$得点A的极坐标为$（2，\;\frac{π}{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\ ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）\end{array}\right.$得点B的极坐标为$（1，\;\frac{π}{3}）$，
所以，|AB|=1．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、切线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．