Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx-$\frac{1}{3}$（a∈R，a≠0）
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值大于等于0，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3lnx-$\frac{1}{3}$，f（1）=0，
∴f′（x）=x²-$\frac{3}{x}$，∴f′（1）=-2，切点为（1，0），
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-0=（-2）•（x-1），即2x+y-2=0．
（2）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，
只需对任意的x∈[1，+∞），f（x）min≥0，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），
当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=$\root{3}{a}$或x=-$\root{3}{a}$（舍），
x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，$\root{3}{a}$）	$\root{3}{a}$	（$\root{3}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

∴函数f（x）的递增区间为（$\root{3}{a}$，+∞），递减区间为（0，$\root{3}{a}$），
①当a＜0时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$-aln1-$\frac{1}{3}$=0，∴a＜0满足题意；
②当0＜a≤1时，0＜$\root{3}{a}$≤1，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$-aln1-$\frac{1}{3}$=0，∴0＜a≤1满足题意；
③当a＞1时，$\root{3}{a}$＞1，函数f（x）在（1，$\root{3}{a}$）上是减函数，在（$\root{3}{a}$，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（$\root{3}{a}$）=$\frac{a-alna-1}{3}$＜f（1）=0，
∴a＞1不满足题意．
综上，a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性．最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．