Question

16．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3
（Ⅰ）解关于c的不等式|2c-4|≤a+b；
（Ⅱ）证明：$\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}≥3$．

Answer 1

分析 （I）用c表示出a+b，去绝对值符号即可得出c的范围；
（II）利用基本不等式可得$\frac{{c}^{2}}{a}+a$≥2c，$\frac{{a}^{2}}{b}+b$≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，将以上三个不等式相加即可得出结论．

解答 （I）解：∵a+b+c=3，a+b=3-c，
∴|2c-4|≤3-c，∴c-3≤2c-4≤3-c，
解得1≤c≤$\frac{7}{3}$．
∴不等式的解集为$[1，\frac{7}{3}]$．
（II）证明：∵$\frac{c^2}{a}+a≥2c$，$\frac{a^2}{b}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，
∴$\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+a+b+c≥2a+2b+2c$，
∴$\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}≥a+b+c$，
∵a+b+c=3，∴$\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}≥3$．

点评 本题考查了不等式的解法，基本不等式及其应用，属于中档题．