Question

8．已知抛物线${C_1}：{y^2}=2px（p＞0）$的焦点为F，准线为l，圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直线l截得的线段长为$2\sqrt{3}$．
（1）求抛物线C₁和圆C₂的方程；
（2）设直线l与x轴的交点为A，过点A的直线n与抛物线C₁交于M、N两点，求证：直线MF的斜率与直线NF的斜率的和为定值．

Answer 1

分析 （1）利用圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直线l截得的线段长为$2\sqrt{3}$，建立方程，求出p，即可求抛物线C₁和圆C₂的方程；
（2）设设直线n：x=ky-1，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案．

解答 （1）解：圆心到直线的距离d=$\frac{p}{2}$，
∵圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直线l截得的线段长为$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$+3=p²，∴p=2，
∴${C_1}：{y^2}=4x$（3分）  ${C_2}：{x^2}+{y^2}=4$（1分）
（2）证明：设直线n：x=ky-1，与抛物线联立得y²-4ky+4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=4，
则直线MF的斜率与直线NF的斜率的和为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{8k-8k}{（k{y}_{1}-2（（k{y}_{2}-2）}$=0   （8分）

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常利用一元二次方程的根与系数关系，采用设而不求的方法解决，此题属中档题．