Question

13．已知数列{a_n}为等比数列，且${a_{2015}}+{a_{2017}}=\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$，则a₂₀₁₆（a₂₀₁₄+a₂₀₁₈）的最小值为$\frac{{π}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据定积分的几何意义先求出a₂₀₁₅+a₂₀₁₇=π，再根据等比数列的性质和基本不等式即可求出．

解答 解：${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=π，
∴${a_{2015}}+{a_{2017}}=\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$=π，
∴a₂₀₁₆（a₂₀₁₄+a₂₀₁₈）=a₂₀₁₆•a₂₀₁₄+a₂₀₁₆•a₂₀₁₈=a₂₀₁₅²+a₂₀₁₇²≥$\frac{1}{2}$（a₂₀₁₅+a₂₀₁₇）²=$\frac{{π}^{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{π^2}{2}$．

点评 本题考查等比数列的性质，利用数形结合的思想，涉及定积分的求解，属中档题．