Question

5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b
被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（bmodm）．若$a=C_{20}^0+C_{20}^1•2+C_{20}^2•{2^2}+…+C_{20}^{20}•{2^{20}}$，a=b（bmod10），则b的值可以是（　　）

• A． 2011
• B． 2012
• C． 2013
• D． 2014

Answer 1

分析 由题意a=（10-1）¹⁰，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b（bmod10），可得b的值．

解答 解：∵$a=C_{20}^0+C_{20}^1•2+C_{20}^2•{2^2}+…+C_{20}^{20}•{2^{20}}$=（1+2）²⁰=3²⁰=9¹⁰=（10-1）¹⁰=${C}_{10}^{0}$•10¹⁰-${C}_{10}^{1}$•10⁹+${C}_{10}^{2}$•10⁸+…-${C}_{10}^{9}$•10+${C}_{10}^{10}$，
∴a被10除得的余数为  1，而2011被10除得的余数是1，
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．