Question

20．如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是（　　）

• A． -4
• B． -3
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 根据条件，可设$\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{CO}$，从而得出$\overrightarrow{PC}=（x-1）\overrightarrow{CO}$，并且0≤x≤1，这样便可得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=8（{x}^{2}-x）$，配方即可求出8（x²-x）的最小值，从而得出答案．

解答 解：设$\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{CO}$，则$\overrightarrow{CP}=（1-x）\overrightarrow{CO}$，0≤x≤1；
∴$\overrightarrow{PC}=（x-1）\overrightarrow{CO}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$
=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$
=$2x（x-1）{\overrightarrow{CO}}^{2}$
=8（x²-x）
=$8（x-\frac{1}{2}）^{2}-2$；
∴$x=\frac{1}{2}$时，$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$取最小值-2．
故选：C．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式，以及配方法求二次函数的最值．