Question

11．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a²-b²+8cosA
（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{6}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理化简可得2bccosA=8cosA，由于cosA≠0，可求bc=4，由正弦定理化简已知可得b=2c，联立可求b，c的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求$cosA≥\frac{1}{4}$，进而可求$sinA≤\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，利用三角形面积公式即可解得得解其最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$ac\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}+bc\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}={a^2}-{b^2}+8cosA$，
∴b²+c²-a²=8cosA，--------（2分）
∴2bccosA=8cosA，
∵cosA≠0，
∴bc=4，------（4分）
由正弦定理得：b=2c，
∴$b=2\sqrt{2}，c=\sqrt{2}$．------（6分）
（Ⅱ）a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA，
即6≥8-8cosA，
∴$cosA≥\frac{1}{4}$，当且仅当b=c时取等号，----------（10分）
∴$sinA≤\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
所以面积最大值为$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$------（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．