Question

6．设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=-f（x），当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）=cosx-1，则-2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（　　）

• A． 4π-8
• B． 2π-4
• C． π-2
• D． 3π-6

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论

解答 解：由f（x+π）=-f（x）得f（x+2π）=f（x），
即函数的周期是2π，
若-$\frac{π}{2}$≤x≤0，则0≤-x≤$\frac{π}{2}$，
即f（-x）=cos（-x）-1=cosx-1，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=cosx-1=-f（x），
即f（x）=1-cosx，-$\frac{π}{2}$≤x≤0，
∵函数的周期是2π，
∴当$\frac{3π}{2}$＜x≤2π时，-$\frac{π}{2}$＜x-2π≤0，
即f（x）=f（x-2π）=1-cos（x-2π）=1-cosx，
当$\frac{π}{2}$＜x≤π时，-$\frac{π}{2}$＜x-π≤0，
即f（x）=-f（x-π）=cos（x-π）-1=-cosx-1，
当π＜x≤$\frac{3π}{2}$时，0≤x-π≤$\frac{π}{2}$，
即f（x）=-f（x-π）=-cos（x-π）+1=cosx+1，
综上：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx-1，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{-cosx-1，\frac{π}{2}＜x≤π}\\{cosx+1，π＜x≤\frac{3π}{2}}\\{1-cosx，\frac{3π}{2}＜x≤2π}\end{array}\right.$，
则由积分的公式和性质可知当-2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积
S=2${∫}_{0}^{2π}f（x）dx$=4${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=8${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}f（x）dx$=8|${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（cosx-1）dx$|=8（x-sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=4π-8．
故选A．

点评 本题主要考查利用积分求面积，根据函数的奇偶性和周期性分别求出对应的解析式是解决本题的关键．运算量较大，有一定的难度