Question

2．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²y²+ay，则正实数a的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²y²+ay，可得f（f（x））＞1，即f（x）＞2，进一步转化为2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），求解不等式得到y的范围，进一步得到a的范围得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的值域为R．
∵f（x）=2^x，（x≤0）的值域为（0，1]；f（x）=log₂x，（x＞0）的值域为R．
∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=2a²y²+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （2a²y²+ay＞0）．
∴f（x）＞2，即log₂x＞2，解得：x＞4．
当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系．
∴问题转化为2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．
∴（2ay-1）（ay+1）＞0，解得：y＞$\frac{1}{2a}$或者y＜-$\frac{1}{a}$（舍去）．
∴$\frac{1}{2a}$≤2，得a$≥\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．