Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1）$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积运算，求出函数解析式，利用正弦函数的单调性，即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）由f（A）=1，求出A，根据$a=2\sqrt{3}$，c=4，利用余弦定理，求出b，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1）$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）cosx+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ
可得函数f（x）的单调递增区间$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈z）$．
（2）f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴12=b²+16-4b，∴b=2，
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查向量数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．