Question

10．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$（t为参数），点A的极坐标为$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，设直线l与曲线C相交于P，Q两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）将参数方程标准式$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\\ y=\sqrt{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.（t为参数）$与（x-2）²+y²=3联立得${t^2}+2\sqrt{3}t+1=0$，由韦达定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1；将直线$θ=\frac{π}{6}（ρ∈R）$的极坐标方程与圆的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+1=0，联立得：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韦达定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1，即可求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

解答 解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3…2分
直线的普通方程为$x-\sqrt{3}y=0$…4分
（2）点A的直角坐标为$（3，\sqrt{3}）$，设点P，Q对应的参数为t₁，t₂，
点P，Q的极坐标方程为$（{ρ_1}，\frac{π}{6}）Q（{ρ_2}，\frac{π}{6}）$，
将参数方程标准式$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\\ y=\sqrt{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.（t为参数）$与（x-2）²+y²=3联立得${t^2}+2\sqrt{3}t+1=0$，
由韦达定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1…6分，
将直线$θ=\frac{π}{6}（ρ∈R）$的极坐标方程与圆的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+1=0
联立得：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韦达定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1…8分，
所以，|AQ||AP||OP||OQ|=1…10分．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程、极坐标方程的运用，正确转化是关键．