Question

20．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为A₁C₁的中点，若$\overrightarrow{AB}=\vec a$，$\overrightarrow{BC}=\vec b$，$\overrightarrow{A{A_1}}=\vec c$，则$\overrightarrow{BM}$可表示为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c$
• B． $\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c$
• C． $-\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b+\vec c$
• D． $\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b+\vec c$

Answer 1

分析 利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{{AA}_{1}}$表示出$\overrightarrow{BM}$即可．

解答 解：取AC的中点N，连接BN、MN，如图所示；

∵M为A₁C₁的中点，
$\overrightarrow{AB}=\vec a$，$\overrightarrow{BC}=\vec b$，$\overrightarrow{A{A_1}}=\vec c$，
∴$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$
∴$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BN}$+$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．