Question

11．已知△ABC的面积为1，∠A的平分线交对边BC于D，AB=2AC，且AD=kAC，k∈R，则当k=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$时，边BC的长度最短．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{1}{2}•2a•a•sinA$=1，sinA=$\frac{1}{{a}^{2}}$，求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，求出BC，利用导数知识，即可求解．

解答 解：由题意，$\frac{1}{2}•2a•a•sinA$=1，∴sinA=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，∴cosA=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{{a}^{2}}$，
∴由余弦定理可得BC²=5a²-4$\sqrt{{a}^{4}-1}$，
设a²=t＞0，则f（t）=5t-4$\sqrt{{t}^{2}-1}$，
f′（t）=5-$\frac{4t}{\sqrt{{t}^{2}-1}}$，
t＞$\frac{5}{3}$，f′（t）＞0，函数单调递增，0＜t＜$\frac{5}{3}$，f′（t）＜0，函数单调递减，
∴t=$\frac{5}{3}$时，函数f（t）取得最小值，即BC=$\sqrt{3}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$=2cos²∠CAD-1，∴cos∠CAD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴k=$\frac{4}{3}$cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，难度大．