Question

6．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），则函数f（x）（　　）

• A． 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点
• B． 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点
• C． 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点
• D． 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的极值以及单调性，然后利用零点判定定理推出选项．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{3}x-lnx（x＞0）$，
则f′（x）=$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{x}$，令$\frac{1}{3}-\frac{1}{x}$=0可得x=3，显然x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，
x∈（3，+∞）f′（x）＞0，函数是增函数．
并且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（3）=1-ln3＜0，
函数在在区间（0，3），（3，+∞）均有零点．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．