Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$，若H（x）=f²（x）-2bf（x）+3有8个不同的零点，则实数b的取值范围为（$\sqrt{3}$，2]．

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$的图象，从而可化为x²-2bx+3=0在（0，3]上有两个不同的解；而m（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，$\sqrt{3}$）上是减函数，在（ $\sqrt{3}$，3]上是增函数；从而解得．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$的图象如下，
，∵H（x）=[f（x）]²-2bf（x）+3有8个不同的零点，
∴g（x）=x²-2bx+3在（0，3]上有两个零点；
即x²-2bx+3=0在（0，3]上有两个不同的解；
故b=$\frac{{x}^{2}+3}{2x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，3]上有两个不同的解；
而m（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，$\sqrt{3}$）上是减函数，在（$\sqrt{3}$，3]上是增函数；
而m（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，m（3）=2；
故$\sqrt{3}$＜b≤2，
故答案为：（$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．