Question

15．若存在正实数x，y，z满足$\frac{z}{2}$≤x≤ez且zln$\frac{y}{z}$=x，则ln$\frac{y}{x}$的取值范围为（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [1，e-1]
• C． （-∞，e-1]
• D． [1，$\frac{1}{2}$+ln2]

Answer 1

分析 由已知得到ln$\frac{y}{x}$=$ln\frac{y}{z}•\frac{z}{x}=ln\frac{y}{z}+ln\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+ln\frac{z}{x}$，求出$\frac{z}{x}$的范围，利用函数求导求最值．

解答 解：由正实数x，y，z满足$\frac{z}{2}$≤x≤ez且zln$\frac{y}{z}$=x，得到$\frac{1}{2}≤$$\frac{x}{z}≤e$，$ln\frac{y}{z}=\frac{x}{z}$∈[$\frac{1}{2}$，e]，
ln$\frac{y}{x}$=$ln\frac{y}{z}•\frac{z}{x}=ln\frac{y}{z}+ln\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+ln\frac{z}{x}$，
设t=$\frac{z}{x}$，则$ln\frac{y}{x}=f（t）=\frac{1}{t}+lnt$，t∈[$\frac{1}{e}$，2]，
f'（t）=$-\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{1}{t}=\frac{t-1}{{t}^{2}}$，令f'（t）=0，得到t=1，
所以当$\frac{1}{e}≤t≤1$时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；
当t=1时函数的最小值为f（1）=1+ln1=1；
又f（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，f（$\frac{1}{e}$）=e-1，．
又f（$\frac{1}{e}$）-f（2）=e-ln2-$\frac{3}{2}$＞e-lne-$\frac{3}{2}$=e-2.5＞0，
所以f（$\frac{1}{e}$）＞f（2），
所以ln$\frac{y}{x}$的取值范围为[1，e-1]；
故选B．

点评 本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值．属于难题．