Question

10．已知函数f（x）=e^x-x²+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g（x）=e^x-2x-1，求函数g（x）的最小值；
（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；
（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x₀．讨论x＜0时，0＜x＜x₀时，x＞x₀时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f（x）在（-∞，0）上单调递增，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x-x²+ax的导数为：
f′（x）=e^x-2x+a，
由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=-1．
（Ⅱ）g'（x）=e^x-2，令g'（x）=0，得x=ln2，
所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

所以g（x）的极小值，且为最小值为g（ln2）=e^ln2-2ln2-1=1-2ln2．
（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，
由（Ⅱ）知，g（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
又g（ln2）＜0，g（2）=e²-5＞0，
由零点存在性定理，存在唯一实数x₀∈（ln2，2），满足g（x₀）=0，
即${e^{x_0}}-2{x_0}-1=0$，${e^{x_0}}=2{x_0}+1$，
综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x₀．
所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（-∞，0）上单调递增；
0＜x＜x₀时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上单调递减；
x＞x₀时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x₀，+∞）上单调递增，
所以f（0）是极大值，f（x₀）是极小值，$f（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}^2-{x_0}=2{x_0}+1-{x_0}^2-{x_0}=-{x_0}^2+{x_0}+1=-{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{5}{4}$，
因为g（1）=e-3＜0，$g（\frac{3}{2}）={e^{\frac{3}{2}}}-4＞0$，
所以${x_0}∈（1，\frac{3}{2}）$，所以f（x₀）＞0，
因此x≥0时，f（x）＞0．
因为f（0）=1且f（x）在（-∞，0）上单调递增，
所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，
所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数零点存在定理的运用，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．