Question

7．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，点E为AD边上的中点，过点D作DF∥BC交AB于点F，现将此直角梯形沿DF折起，使得A-FD-B为直二面角，如图乙所示．
（1）求证：AB∥平面CEF；
（2）若AF=$\sqrt{3}$，求点A到平面CEF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AB∥OE，即可得到AB∥平面CEF，
（2）如图5，连接FC，AC，取FD中点G，连接EG，CG．易得EG⊥平面BCEF，DC⊥平面ADF．由V_A-CEF=V_C-AEF，解得点A到平面CEF的距离

解答 解：（1）证明：如图4所示，连接BD，FC交于点O，连接OE．
因为BCDF为正方形，故O为BD中点．
又E为AD中点，故OE为△ADB的中位线．    …（3分）
∵AB∥OE，又OE?平面CEF，AB?平面CEF，
∴AB∥平面CEF．…（5分）
（2）解：如图5，连接FC，AC，取FD中点G，连接EG，CG．
因为AF=$\sqrt{3}$，易得EF=$\frac{1}{2}AD=1$，EG=$\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵GC=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．            …（7分）
因为原图形为直角梯形，折起后A-FD-B为直二面角，
故易得EG⊥平面BCEF，DC⊥平面ADF．
∴EC=$\sqrt{E{G}^{2}+C{G}^{2}}=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=\sqrt{2}$．．
又FC=$\sqrt{2}$，故易得等腰△CEF面积s_△CFE=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
而s_△AFE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（10分）
设点A到平面CEF的距离为h，
∵V_A-CEF=V_C-AEF，即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{4}×h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1$，解得h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
所以点A到平面CEF的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了线面平行的判定，等体积法求点面距离，属于中档题．