Question

12．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，且各阶段通过与否相互独立．
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．

Answer 1

分析 （1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{4}$．那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P=P（A$\overline{B}$），由此能求出结果．
（2）ξ可能取值为1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 （本题10分）
解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，
则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{4}$．
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P=P（A$\overline{B}$）=P（A）P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$．…（3分）
（2）ξ可能取值为1，2，3．
P（ξ=1）=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$．…（8分）
故ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

Eξ=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{3}{8}$=$\frac{17}{8}$．…（10分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、相互独立事件概率计算公式的合理运用．