Question

17．已知椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+b联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0，由k_FA+k_FB=0，可得 b与k的关系，即可；
（2）由（1）得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）•（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$=（x₁+1）（x₂+1）+（kx₁+b）（kx₂+b）
由=0及△求出b的范围．又d=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{（\frac{3{b}^{2}-1}{4b}）^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{9+10（\frac{1}{b}）^{2}+（\frac{1}{b}）^{4}}}$$＜\frac{4}{3}$即可求解，

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+b
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4kb}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{b}^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}$，△=8（2k²+1-b²）＞0…①，
k_FA+k_FB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}=\frac{（k{x}_{1}+b）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+b）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$．
∴（kx₂+b）（x₁+1）+（kx₁+b）（x₂+1）=2kx₁x₂+（k+b）（x₁+x₂）+2b=2k×$\frac{2（{b}^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}$-（k+b）×$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}+2b$=0
∴b=2k，直线AB的方程为：y=kx+2k，
则动直线l一定经过一定点（-2，0）．
（2）由（1）得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）•（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$=（x₁+1）（x₂+1）+（kx₁+b）（kx₂+b）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（kb+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}+1$
=（k²+1）×$\frac{2（{b}^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}-（kb+1）×\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}+{b}^{2}+1=0$．
∴$3{b}^{2}-4kb-1=0，k=\frac{3{b}^{2}-1}{4b}$代入①得①恒成立．
又d=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{（\frac{3{b}^{2}-1}{4b}）^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{9+10（\frac{1}{b}）^{2}+（\frac{1}{b}）^{4}}}$$＜\frac{4}{3}$，
∴d的取值范围（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，定点问题，及取值范围问题，属于中档题．