Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA₁B₁B为正方形，且AA₁⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ） 若BC₁∥平面A₁CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，求二面角A₁D-C-BC₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：连接AC₁，交A₁C于点E，可知E为AC₁的中点，连接DE，利用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出．
（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B₁C₁的中点O，O₁，连接AO，OO₁，可知OB，OO₁，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得：平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{m}$，又平面BCC₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：
连接AC₁，交A₁C于点E，可知E为AC₁的中点，连接DE，
因为BC₁∥平面A₁CD，
平面ABC₁∩平面A₁CD=DE，
所以BC₁∥DE，
故D为AB的中点．（4分）
（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B₁C₁的中点O，O₁，连接AO，OO₁，可知OB，OO₁，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
知$C（-1，0，0），D（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{A_1}（0，2，\sqrt{3}）$，
则$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，2，\sqrt{3}）$，
设面A₁CD的法向量m=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{CD}=0\\ m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\\ x+2y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$
令x=1，得A₁CD的一个法向量为$m=（1，1，-\sqrt{3}）$，
又平面BCC₁的一个法向量n=（0，0，1），
设二面角A₁D-C-BC₁的平面角为α，
则$cosα=|{cos＜m，n＞}|=\frac{{|{m•n}|}}{|m|•|n|}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
即该二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查了线面垂直与平行的判定与性质定理、向量垂直与数量积的关系、平面法向量的应用、向量夹角公式、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．