Question

6．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₁上点P的极角为$\frac{π}{4}$，Q为曲线C₂上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）$P（\frac{π}{4}，2\sqrt{2}）$，直角坐标为（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离．

解答 解：（1）由曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，消去参数，可得普通方程l：x+2y-3=0．（5分）
（2）$P（\frac{π}{4}，2\sqrt{2}）$，直角坐标为（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
M到l的距离d=$\frac{|1+cosα+2+sinα-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}|sin（α+\frac{π}{4}）|$，从而最大值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（10分）

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．