Question

11．已知点$P（\sqrt{3}，1）$，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数$f（x）=\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{QP}$．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积运算，即可求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）利用，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求出bc，利用余弦定理，求出$b+c=2\sqrt{3}$，即可求△ABC的周长．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow{QP}=（\sqrt{3}-cosx，1-sinx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{QP}$=$\sqrt{3}（\sqrt{3}-cosx）+1-sinx$=4-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
f（x）的最小正周期为2π；             （6分）
（2）因为f（A）=4，所$sin（A+\frac{π}{3}）=0$，因为0＜A＜π，所以$A=\frac{2π}{3}$，
因为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，所以bc=3，
根据余弦定理${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{2π}{3}={（b+c）^2}-2bc+bc=9$，所以$b+c=2\sqrt{3}$，
即三角形的周长为$3+2\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查三角函数性质及正余弦定理，考查向量运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．