Question

17．已知函数f（x）=x³+3x²-9x-3
（Ⅰ）若函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l与直线x-9y+1=0垂直，求切线l的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，求出斜率，利用直线的垂直关系求解切线方程即可．
（Ⅱ）求出导函数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+6x-9
根据题意得$f'（{x_0}）=3{x_0}^2+6{x_0}-9=-9$；∴x₀=0或-2；
∴①当x₀=0时，f（x₀）=-3；∴切线方程为y=-9x-3；
②当x₀=-2时，f（x₀）=19；切线方程为y=-9x+1； 
综上切线l方程为9x+y+3=0或  9x+y-1=0…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=3（x+3）（x-1）；
令f'（x）＞0，则x＞1或x＜-3，令f'（x）＜0，则-3＜x＜1
∴f（x）的极大值为f（-3）=24，f（x）的极小值为f（1）=-8．…（12分）

点评 本题考查函数的极值的求法，切线方程以及函数的单调性的应用，考查计算能力．