Question

19．在平面直角坐标系xoy中，过椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$右焦点的直线$x+y-\sqrt{2}=0$交椭圆C于M，N两点，P为M，N的中点，且直线OP的斜率为$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A，B两点，原点O到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当y=0时，求得焦点F坐标，M，N代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，化简求得MN的直线方程，即可求得a和b的关系，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知：当丨AB丨最大时，△AOB面积的最大值，将直线AB代入椭圆方程，利用韦达定理弦长公式及基本不等式的性质，即可求得丨AB丨的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，直线$x+y-\sqrt{2}=0$与x轴交点F（$\sqrt{2}$，0），则c=$\sqrt{2}$，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），P（x_P，y_P），2x_P=x₁+x₂，2y_P=y₁+y₂，
直线OP的斜率k=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{p}}$，
则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
整理得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{{b}^{2}{x}_{p}}{{a}^{2}{y}_{P}}$，
由直线MN的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×3=-1，整理得：a²=3b²=3（a²-c²），
又c=$\sqrt{2}$，解得：a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）由题意，①当直线l的斜率不存在时，O到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
将x=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$代入椭圆方程，解得：y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则丨AB丨=2丨y丨=$\sqrt{3}$；
当直线斜率为O时，将y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入椭圆方程，解得：x=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则丨AB丨=2丨x丨=$\sqrt{3}$；…（6分）
②当直线l的斜率存在时且不为0时，
设直线l的方程为：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由题意，原点0到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=，
由题意△＞0，x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$．
丨AB丨²=（1+k²）[（x₁+x₂）-4x₁x₂]=（1+k²）[（-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$）²-4×$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$]，
=（1+k²）$\frac{36{k}^{2}×\frac{3}{4}（{k}^{2}+1）-12[\frac{3}{4}（{k}^{2}+1）-1]（3{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=$\frac{（1+{k}^{2}）[27{k}^{4}+27{k}^{2}-27{k}^{4}+3]}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=$\frac{27{k}^{4}+30{k}^{2}+3}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$，
=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4，
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立，丨AB丨_max=2，
综上所述，当直线l的斜率k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，
即丨AB丨_max=2时，△AOB面积的最大值，
最大值为S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨_max×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△AOB面积的最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式应用，考查计算能力，属于中档题．