Question

7．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设焦点F（c，0），与y=$\frac{b}{a}$x垂直的直线为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$可得A（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{abc}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$可得B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
再由$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，可得0-（-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$）=2（$\frac{abc}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-0），
化为a²=3b²=3（c²-a²），
即为3c²=4a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．