Question

15．已知函数f（x）=ax-lnx．
（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；
（2）通过转化可知a（x²-x）≥lnx对?x∈[1，+∞）恒成立，分别设y₁=a（x²-x），y₂=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再记g（x）=ax²-ax-lnx，通过举反例可知当0＜a＜1时不满足题意．进而转化为函数的最值问题，利用当x＞1时lnx＜x-1恒成立放缩即得结论．

解答 解：（1）设切点为M（x₀，f（x₀）），直线的切线方程为y-f（x₀）=k（x-x₀），
∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，∴k=f′（x₀）=a-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
即直线的切线方程为y-ax₀+lnx₀=（a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
又切线过原点O，所以-ax₀+lnx₀=-ax₀+1，
由lnx₀=1，解得x₀=e，所以切点的横坐标为e．
（2）∵不等式ax-lnx≥a（2x-x²）恒成立，
∴等价于a（x²-x）≥lnx对?x∈[1，+∞）恒成立．
设y₁=a（x²-x），y₂=lnx，由于x∈[1，+∞），且当a≤0时y₁≤y₂，故a＞0．
记g（x）=ax²-ax-lnx，
则当0＜a＜1时，g（3）=6a-ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．
当x=1时，g（x）≥0恒成立；
当x＞1时，则a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$恒成立，等价于问题转化为求h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$当x＞1时的最大值．
又当x＞1时，lnx＜x-1＜x（x-1），即h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$＜1（x＞1），
综上所述：a≥1．

点评 本题是一道关于导数的综合题，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于难题．