Question

3．已知函数f（x）=ax³+3x²+1，若至少存在两个实数m，使得f（-m），f（1）、f（m+2）成等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（　　）

• A． 3条
• B． 2条
• C． 1条
• D． 0条

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，求出f（x）的二阶导数，可得a的方程，解得a=-1，设出切点，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，设g（t）=2t³-3t²+1，g′（t）=6t²-6t，求出单调区间和极值，即可判断方程的解的个数，即切线的条数．

解答 解：至少存在两个实数m，使得f（-m），f（1）、f（m+2）成等差数列，
可得f（-m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），
即有f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，
由f（x）的导数为f′（x）=3ax²+6x，
f″（x）=6ax+6，由 f″（x）=0，可得x=-$\frac{1}{a}$，
由f（-$\frac{1}{a}$+x）+f（-$\frac{1}{a}$-x）为常数，
可得-$\frac{1}{a}$=1，解得a=-1，
即有f（x）=-x³+3x²+1，f′（x）=-3x²+6x，
设切点为（t，-t³+3t²+1），
可得切线的斜率为-3t²+6t=$\frac{-{t}^{3}+3{t}^{2}+1}{t}$，
化为2t³-3t²+1=0，
设g（t）=2t³-3t²+1，g′（t）=6t²-6t，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减；当t＞1或t＜0时，g′（t）＞0，g（t）递增．
可得g（t）在t=0处取得极大值，且为1＞0；在t=1处取得极小值，且为0．
可知2t³-3t²+1=0有两解，
即过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作2条．
故选：B．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要是对称性，考查导数的几何意义，考查转化思想和方程思想，化简整理的运算能力，属于中档题．