Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆x²+y²=$\frac{2}{3}$的任意一条切线l与椭圆E相交于P，Q两点，试问：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$是否为定值？若是，求这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得a和b的关系，将M代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类，当斜率不存在时，求得P和Q点坐标，根据向量数量积的坐标运算，求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，当斜率存在时，代入椭圆方程，由向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0为定值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，则a=$\sqrt{2}$b，
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
又因为椭圆经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，代入可得b=1，则$a=\sqrt{2}$，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）①当l的斜率不存在时，l的方程$x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或$x=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$则$P（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}），Q（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$或$P（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}），Q（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0；（6分）
②当l的斜率存在时，设l方程y=kx+m，则满足：$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即3m²-2k²-2=0，…（8分）
又由，$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-2=0$…（9分）
∴${x_p}+{x_Q}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_p}•{x_Q}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$
故${y_p}•{y_Q}=（k{x_p}+m）•（k{x_Q}+m）=\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_p}{x_Q}+{y_p}{y_Q}=\frac{{3{m^2}-2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，…（13分）
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，综合①②可知$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值0．…（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．