Question

6．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ+2cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ＜2π），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求证：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是定值；
（2）若定点P（1，0），且|PA|=2|PB|，求直线1的普通方程．

Answer 1

分析 （1）把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-1；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入y²=2x，可得t²sin²α-2tcosα-2=0，利用参数的几何意义，即可求解．

解答 （1）证明：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），普通方程为y=tanα（x-1），
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ+2cosθ=ρ的直角坐标方程为y²=2x，
联立可得tan²αx-（2tan²α+2）x+tan²α=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=2+$\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，x₁x₂=1，
∴y₁y₂=-2，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-1定值；
（2）解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入y²=2x，可得t²sin²α-2tcosα-2=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁=-2t₂，t₁+t₂=$\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{2}{si{n}^{2}α}$，
化简可得cosα=$±\frac{1}{2}$，∴tanα=±$\sqrt{3}$，
∴直线1的普通方程为y=$±\sqrt{3}$（x-1）．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．