Question

3．已知函数$f（x）=4cosωxsin（{ωx+\frac{π}{6}}）-2（{ω＞0}）$，若函数相邻最高点间的距离为π．
（1）求ω及f（x）的对称中心；
（2）求f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数相邻最高点间的距离推出函数的最小正周期，进而求得ω，在求出对称中心，
（2）根据x的范围，确定2x+$\frac{π}{6}$的范围，利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答 解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx-2=$\sqrt{3}$sin2ωx+cosωx-1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，
∵函数相邻最高点间的距离为π，
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-1），
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为1，
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值为-2

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．