Question

11．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e^x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{1}{4}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{2}，0）$
• C． （-1，0）
• D． $（-\frac{1}{4}，0）$

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得 $\left\{\begin{array}{l}{ln{（e}^{a}+m）=2a}\\{ln{（e}^{b}+m）=2b}\end{array}\right.$，可以转化为方程e^2x-e^x-m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．

解答 解：∵函数f（x）=ln（e^x+m）为“倍增函数”，
且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{ln{（e}^{a}+m）=2a}\\{ln{（e}^{b}+m）=2b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m{=e}^{2a}{-e}^{a}}\\{m{=e}^{2b}{-e}^{b}}\end{array}\right.$；
∴方程e^2x-e^x-m=0可化为
y²-y-m=0（其中y=e^x），
∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
即 $\left\{\begin{array}{l}{1+4m＞0}\\{-m＞0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$＜m＜0；
∴满足条件的m的范围是（-$\frac{1}{4}$，0）；
故选：D．

点评 本题考查了函数的值域问题，解题时应构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，是中档题．