Question

5．已知点A（1，2）、B（5，-1），
（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；
（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．

Answer 1

分析 （1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，-1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，-1）中点，分类解出直线的方程即可；
（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．

解答 解：∵|AB|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=5，$\frac{1}{2}$|AB|＞2，
∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，
①当直线l平行直线AB时：k_AB=$\frac{-1-2}{5-1}=-\frac{3}{4}$，可设直线l的方程为y=-$\frac{3}{4}$x+b
依题意得：$\frac{|-\frac{3}{4}-2+b|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，解得：b=$\frac{21}{4}$或b=$\frac{1}{4}$，
故直线l的方程为：3x+4y-1=0或3+4y-21=0；
②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，$\frac{1}{2}$），可设直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=k（x-3）
依题意得：$\frac{|4k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=2，解得：k=$\frac{7}{24}$，
故直线l的方程为：$\frac{7}{24}$x-2y-$\frac{3}{4}$=0；
（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，
经过AB中点的直线，
若2m＜|AB|，则有2条；
若2m=|AB|，则有1条；
若2m＞|AB|，则有0条，
∵|AB|=5，
综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；
当m=2.5时，有3条直线符合题意；
当m＞2.5时，有2条直线符合题意．

点评 本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力