Question

7．已知关于x的不等式|x-a|+|x-3|≥2a的解集为R，则实数a的最大值为1．

Answer 1

分析 根据已知不等式在R上恒成立，利用|x-m|+|x-n|≥|n-m|放缩已知不等式的左边，然后分a-3大于等于0和小于等于0两种情况，化简绝对值得到关于a的不等式，分别求出解集，再求出两解集的并集即可得到a的最大值．

解答 解：化简得：|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|≥2a，
当a-3≥0，即a≥3时，上式化为a-3≥2a，解得a≤-3，所以实数a无解；
当a-3≤0，即a≤3时，上式化为3-a≥2a，解得3a≤3，解得a≤1，
综上，实数a的范围为a≤1，
则实数a的最大值为1．
故答案为：1．

点评 此题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．