Question

8．已知焦点在x轴上的椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若△ABC的顶点A，B在椭圆E上，C在直线L：y=x+2上，且AB∥L．
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用离心率求出短半轴的长，得到椭圆方程，利用AB∥l，求出AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x\end{array}\right.$求出|AB|，然后求解三角形的面积．
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x+m\end{array}\right.$，设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，转化表示|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．然后求解最值即可．

解答 解：（1）因为离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，所以${e^2}=1-\frac{b^2}{4}$，则${b^2}=\frac{4}{3}$
所以椭圆E的方程为x²+3y²=4…（2分）
因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x\end{array}\right.$得x=±1．
所以|AB|=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=2\sqrt{2}$． …（4分）
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=$\sqrt{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}\left|{AB}\right.$|•h=2． …（6分）
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x+m\end{array}\right.$得4x²+6mx+3m²-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m²+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$-\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{{3{m^2}-4}}{4}$，…（8分）
所以|AB|=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{32-6{m^2}}}}{2}$．
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=$\frac{{|{2-m}|}}{{\sqrt{2}}}$…（10分）
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1． …（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．