Question

13．已知等比数列{a_n}满足2a₃+a₅=3a₄，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义和等差中项的性质即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）根据裂项求和即可求出．

解答 解：（1）由题意知：2+q²=3q，得q=1或q=2，
当q=1时，2（a₁+2）=a₁+a₁，显然不合题意，舍去；
当q=2时有2（4a₁+2）=2a₁+8a₁，即a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式以及裂项求和，属于中档题．