Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³+cx在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），求出c的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+c，当x=1时，f（x）取得极值，
则f′（1）=0，即$\frac{3}{2}$+c=0，得c=-$\frac{3}{2}$．故f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x．
（2）f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x²-1）=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1或1．
x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，f（x）的极大值为f（-1）=1，极小值为f（1）=-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．