Question

4．已知A，B，C是圆x²+y²=1上互不相同的三个点，且满足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 画出图形，设出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$以及$\overrightarrow{OC}$的坐标，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的坐标表示，求取值范围即可．

解答 解：如图所示，取$\overrightarrow{OA}$=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，∴C（cosθ，-sinθ）；
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（cosθ-1，sinθ）•（cosθ-1，-sinθ）
=（cosθ-1）²-sin²θ
=cos²θ-2cosθ+1-（1-cos²θ）
=2${（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$；
∵-1＜cosθ＜1，
∴当cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，上式取得最小值-$\frac{1}{2}$；
当cosθ=-1时，2${（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$=4；
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，4）．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，4）．

点评 本题考查了平面向量的数量积与运算问题，也考查了数形结合的应用问题，是综合题．