Question

8．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-2}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，设点P是曲线C上的一个动点，则P到直线l距离的取值范围是[2$\sqrt{3}$-1，2$\sqrt{3}$+1]．

Answer 1

分析 直接根据直线的参数方程中，消去参数，即可得到其普通方程；再利用极坐标方程和直角坐标方程互化公式求解即可，设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），然后，构造距离关系式，然后，求解其范围即可．

解答 解：根据$\left\{\begin{array}{l}{x=t-2}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t，得直线l的普通方程为：$\sqrt{3}$x-y+2$\sqrt{3}$=0
依据曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．得到曲线的直角坐标方程为（x-2）²+y²=1
设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），
则d=$\frac{|\sqrt{3}（2+cosθ）-sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{6}）+4\sqrt{3}|}{2}$
所以d的取值范围是[2$\sqrt{3}$-1，2$\sqrt{3}$+1]．
故答案为[2$\sqrt{3}$-1，2$\sqrt{3}$+1]．

点评 本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，属于中档题．