Question

20．函数f（x）=-x²+3x+a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 先求导判断内函数g（x）的单调性，再参数分离，利用二次函数的单调性可得结论．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2^xln2-2x，
g″（x）=（ln2）²•2^x-2＜0，从而g′（x）在[0，1]上单调递减，
设g′（x₀）=0，则函数在[0，x₀]上单调递增，在[x₀，1]上单调递减，
∴t=g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]，其中g（x₀）=${2}^{{x}_{0}}$-${x}_{0}^{2}$＜2，
则问题转化为a≥t²-3t在[1，g（x₀）]上恒成立，
∵y=t²-3t在（0，$\frac{3}{2}$）上单调递减，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递增，
∴y=t²-3t在[1，g（x₀）]上的最大值为1-3=-2，
∴a≥-2．
故答案为：[-2，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查不等式恒成立问题，注意解题方法的积累，属于难题．